Qual è il potere del numero

• Motivi

Si prega di notare che questa sezione tratta il concetto di laurea solo con un indicatore naturale e zero.

Il concetto e le proprietà dei gradi con esponenti razionali (con negativo e frazionario) saranno discussi nelle lezioni per il grado 8.

Quindi, capiamo qual è il potere del numero. Per registrare il prodotto del numero stesso su se stesso più volte utilizzare la notazione abbreviata.

Invece del prodotto di sei fattori identici 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, scrivono 4 6 e dicono "quattro al sesto grado".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

L'espressione 4 6 è chiamata la potenza del numero, dove:

• 4 - la base della laurea;
• 6 - esponente.

In generale, il grado con la base "a" e l'indice "n" è scritto usando l'espressione:

Il grado del numero "a" con l'indice naturale "n", maggiore di 1, è il prodotto dei fattori di uguale "n", ognuno dei quali è uguale al numero "a".

La notazione "a n" si legge così: "ma alla potenza di n" o "l'ennesima potenza del numero a".

Le eccezioni sono i record:

• a 2 - può essere pronunciato come "a quadrato";
• a 3 - può essere pronunciato come "ma in un cubo".

Naturalmente, le espressioni sopra possono essere lette per determinare il grado:

• a 2 - "e nel secondo grado";
• a 3 - "e nel terzo grado".

Casi particolari si verificano quando l'esponente è uno o zero (n = 1; n = 0).

Il grado del numero "a" con l'indice n = 1 è il numero stesso:
a 1 = a

Qualsiasi numero in grado zero è uno.
a 0 = 1

Zero in qualsiasi misura naturale è zero.
0 n = 0

L'unità di qualsiasi grado è uguale a 1.
1 n = 1

L'espressione 0 0 (da zero a zero) è considerata priva di significato.

Quando si risolvono gli esempi, si deve ricordare che l'innalzamento a un potere è chiamato trovare un valore numerico o alfabetico dopo il suo innalzamento a potenza.

Un esempio Alzati in gradi.

• 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Alzare un numero negativo

La base del grado (un numero elevato a una potenza) può essere qualsiasi numero: positivo, negativo o zero.

Quando si aumenta a una potenza di un numero positivo, si ottiene un numero positivo.

Quando si costruisce un grado naturale zero, si ottiene uno zero.

Quando si alza un numero negativo a una potenza, il risultato può essere un numero positivo o un numero negativo. Dipende se l'esponente è dispari o dispari.

Considera esempi di aumentare il potere dei numeri negativi.

Dagli esempi considerati è chiaro che se un numero negativo è elevato a un grado dispari, si ottiene un numero negativo. Poiché il prodotto di un numero dispari di fattori negativi è negativo.

Se un numero negativo viene aumentato a una potenza pari, viene ottenuto un numero positivo. Poiché il prodotto di un numero pari di fattori negativi è positivo.

Un numero negativo elevato a una potenza pari è un numero positivo.

Un numero negativo elevato a una potenza dispari è un numero negativo.

Il quadrato di qualsiasi numero è un numero positivo o zero, ovvero:

a 2 ≥ 0 per qualsiasi a.

• 2 · (-3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (-8) = 40

Fai attenzione!

Quando risolvono esempi di esponenziazione, spesso commettono errori, dimenticando che le voci (-5) 4 e -5 4 sono espressioni diverse. I risultati dell'esponenziazione di queste espressioni saranno diversi.

Calcolare (-5) 4 significa trovare il valore della quarta potenza di un numero negativo.

Trovando "-5 4" significa che l'esempio deve essere risolto in 2 passaggi:

1. Alza alla quarta potenza un numero positivo 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Metti il ​​segno meno davanti al risultato (cioè, esegui l'azione di sottrazione).
   -5 4 = -625

Un esempio Calcola: -6 2 - (-1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. -36 - 1 = -37

La procedura negli esempi con gradi

Il calcolo del valore è chiamato azione di esponenziazione. Questa è l'azione del terzo passo.

Nelle espressioni con poteri che non contengono parentesi, prima eseguono un potere, quindi moltiplicano e dividono e alla fine aggiungono e sottraggono.

Se ci sono parentesi nell'espressione, quindi prima nell'ordine sopra, eseguire le azioni tra parentesi e quindi le azioni rimanenti nello stesso ordine da sinistra a destra.

Per facilitare la soluzione degli esempi, è utile conoscere e utilizzare la tabella dei livelli, che è possibile scaricare gratuitamente sul nostro sito Web.

Per verificare i risultati, è possibile utilizzare il calcolatore per la raccolta dei voti online sul nostro sito Web.

Grado di numero: definizioni, designazione, esempi.

In questo articolo, capiremo qual è il grado del numero. Qui daremo le definizioni del grado di un numero, con uno sguardo dettagliato a tutti i possibili indicatori del grado, partendo dall'indicatore naturale e finendo con l'irrazionale. Nel materiale troverete molti esempi di gradi che coprono tutte le sottigliezze che si presentano.

Navigare nella pagina.

Grado con un indicatore naturale, quadrato di numero, cubo di numero

Per cominciare, daremo una definizione del grado di un numero con un indice naturale. Guardando avanti, diciamo che la definizione del grado di a con un indice naturale n è data per un numero reale a, che chiameremo la base del grado e un numero naturale n, che chiameremo l'esponente. Notiamo anche che il grado con l'indice naturale è determinato attraverso il prodotto, in modo che per capire il materiale sottostante, è necessario avere un'idea sulla moltiplicazione dei numeri.

Il grado di a con un indice naturale n è un'espressione della forma a n, il cui valore è uguale al prodotto di n fattori, ognuno dei quali è uguale a a, cioè,.
In particolare, il grado di a con indice 1 è il numero a stesso, vale a dire 1 = a.

Da questa definizione è chiaro che con l'aiuto di una laurea con indice naturale si possono annotare le opere di diversi fattori identici. Ad esempio, 8 · 8 · 8 · 8 può essere scritto come un grado 8 4. Questo è analogo a come la somma di termini identici è scritta usando un'opera, per esempio, 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (vedi l'idea generale dell'articolo sulla moltiplicazione dei numeri naturali).

Immediatamente dovrebbe essere detto sulle regole dei gradi di lettura. Il modo universale di leggere un record è: "alla potenza di n". In alcuni casi, tali varianti sono anche ammissibili: "un all'ennesima potenza" e "l'ennesima potenza del numero a". Ad esempio, prendi il grado 8 12, questo è "otto al potere di dodici" o "otto al dodicesimo potere" o "il dodicesimo potere dell'otto.

Il secondo grado del numero, così come il terzo grado del numero hanno il loro nome. La seconda potenza del numero è chiamata il quadrato del numero, ad esempio, 7 2 si legge come "sette al quadrato" o "quadrato del numero sette". Il terzo potere di un numero è chiamato un cubo di un numero, ad esempio, 5 3 può essere letto come "cinque in un cubo" o dire "un cubo del numero 5".

È tempo di dare esempi di gradi con indicatori naturali. Iniziamo con il grado 5 7, qui 5 è la base del grado e 7 è l'esponente. Facciamo un altro esempio: la frazione decimale di 4.32 è la base e il numero intero positivo 9 è un esponente (4.32) 9.

Si noti che nell'ultimo esempio, la base del grado 4.32 è scritta tra parentesi: per evitare discrepanze, prenderemo tutte le basi del grado tra parentesi che sono diverse dai numeri naturali. Ad esempio, diamo i seguenti gradi con indicatori naturali, le loro basi non sono numeri naturali, quindi sono scritte tra parentesi. Bene, per completa chiarezza in questo momento mostriamo la differenza contenuta nei registri del modulo (-2) 3 e -2 3. L'espressione (-2) 3 è il grado del numero negativo -2 con l'indice naturale 3, e l'espressione -2 3 (può essere scritta come - (2 3)) corrisponde al numero opposto al valore del grado 2 3.

Si noti che esiste una notazione per il grado di a con indice n della forma a ^ n. Inoltre, se n è un numero intero positivo multivalore, l'esponente viene preso tra parentesi. Ad esempio, 4 ^ 9 è un'altra voce di grado 4 9. Ecco altri esempi di gradi di registrazione usando il simbolo "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Nel seguito, useremo principalmente la notazione per il grado della forma a n.

La definizione sopra riportata permette di trovare il valore del grado con un indicatore naturale. Per fare ciò, calcolare il prodotto di n fattori uguali a a. Questo argomento merita una considerazione dettagliata in un articolo separato - vedi l'esponenziazione con un indicatore naturale.

Uno dei compiti, l'inverso della costruzione con un indicatore naturale, è il problema di trovare la base di un grado con un valore noto di un grado e un indicatore noto. Questo compito porta al concetto di una radice da un numero.

Vale anche la pena esplorare le proprietà di un grado con un indice naturale, che derivano da questa definizione del grado e delle proprietà della moltiplicazione.

Laurea con numero intero

Dopo aver determinato il grado di a con un indice naturale, sorge un desiderio logico di espandere la nozione di grado e passare al grado di un numero, di cui qualsiasi numero intero, compresi negativo e zero, sarà un indicatore. Questo dovrebbe essere fatto in modo tale che tutte le proprietà di un grado con un indice naturale rimangano valide, poiché i numeri naturali fanno parte di interi.

Il grado di a con un numero intero positivo non è altro che la potenza di a con un esponente naturale :, dove n è un numero intero positivo.

Ora definiamo la potenza zero di a. Procediamo dalla proprietà delle potenze parziali con le stesse basi: per i numeri naturali m e n, m m: a n = a m - n (la condizione a ≠ 0 è necessaria, altrimenti avremmo una divisione per zero). Per m = n, l'uguaglianza scritta porta al seguente risultato: a n: a n = a n - n = a 0. Ma d'altra parte, un n: a n = 1 come un quoziente di numeri uguali a n e a n. Pertanto, dobbiamo accettare un 0 = 1 per ogni numero reale diverso da zero a.

Ma che dire di zero a zero gradi? L'approccio utilizzato nel paragrafo precedente non è adatto a questo caso. Possiamo ricordare la proprietà del prodotto di gradi con le stesse basi a m · a n = a m + n, in particolare, quando n = 0, abbiamo un m · a 0 = a m (questa uguaglianza mostra anche che a 0 = 1). Tuttavia, per a = 0 otteniamo l'uguaglianza 0 m · 0 0 = 0 m, che può essere riscritta come 0 = 0, è vera per qualsiasi m naturale, indipendentemente da quale sia il valore dell'espressione 0 0. In altre parole, 0 0 può essere uguale a qualsiasi numero. Per evitare questa ambiguità, non assegneremo zero al potere di zero alcun senso (per gli stessi motivi, quando studiamo la divisione, non abbiamo dato un significato all'espressione 0: 0).

È facile verificare che la nostra uguaglianza a 0 = 1 per i numeri diversi da zero a sia coerente con la proprietà di grado in grado (a m) n = a m · n. Infatti, per n = 0, abbiamo (a m) 0 = 1 e a m · 0 = a 0 = 1, e per m = 0 abbiamo (a 0) n = 1 n = 1 e a 0 · n = a 0 = 1.

Quindi siamo arrivati ​​alla definizione di laurea con indicatore zero. Il grado di a con esponente zero (un numero reale diverso da zero) è uno, vale a dire 0 = 1 per a ≠ 0.

Facciamo un esempio: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 e 0 0 non è definito.

Il grado zero del numero a è determinato, rimane da determinare il numero intero negativo del numero a. Questo ci aiuterà tutti la stessa proprietà del prodotto di gradi con le stesse basi a m · a n = a m + n. Prendiamo m = -n, che richiede la condizione a ≠ 0, quindi a -n · a n = a -n + n = a 0 = 1, da cui deduciamo che a n e a -n sono numeri mutuamente inversi. Pertanto, è logico definire il numero a al grado negativo intero -n come frazione. È facile verificare che con tale compito il grado di un numero diverso da zero a con un numero intero negativo valga tutte le proprietà di un grado con un indice naturale (vedi le proprietà di un grado con un indice intero), che è quello che volevamo

Suoniamo la definizione di un grado con un intero indice negativo. Il grado di a con un numero intero negativo -n (un numero reale diverso da zero) è una frazione, cioè con un ≠ 0 e un intero positivo n.

Considera questa definizione di laurea con un numero intero negativo su esempi specifici :.

Riepiloga le informazioni di questo articolo.

Il grado di a con un intero z è definito come:

Laurea con un indicatore razionale

Da esponenti interi del numero a, la transizione a un indicatore razionale suggerisce se stessa. Di seguito definiamo un grado con un indicatore razionale, e lo faremo in modo tale da preservare tutte le proprietà del grado con l'intero indicatore. Questo è necessario perché gli interi fanno parte di numeri razionali.

È noto che l'insieme di numeri razionali è costituito da numeri interi e numeri frazionari e ogni numero frazionario può essere rappresentato come frazione ordinaria positiva o negativa. Abbiamo definito il grado con l'esponente intero nel paragrafo precedente, quindi, per completare la definizione di esponente con esponente razionale, dobbiamo dare un significato al grado di a con esponente frazionario m / n, dove m è un intero en è naturale. Facciamolo

Considera un grado con un esponente frazionario. Al fine di mantenere il potere della proprietà di una laurea in una certa misura, l'uguaglianza deve essere soddisfatta. Se prendiamo in considerazione l'uguaglianza ottenuta e come abbiamo determinato la radice dell'ennesimo grado, allora è logico accettarlo, a condizione che per date m, n e a, l'espressione abbia senso.

È facile verificare che tutte le proprietà di un grado con un indicatore intero siano valide (ciò viene fatto nella sezione sulle proprietà di un grado con un indicatore razionale).

Il ragionamento di cui sopra ci permette di trarre la seguente conclusione: se per data m, n e a, l'espressione ha senso, allora il grado di a con un indice frazionale m / n è la radice dell'n ° grado da a a grado m.

Questa affermazione ci avvicina alla definizione di un grado con un esponente frazionario. Resta solo da scrivere, per cui m, n e a senso ha espressione. A seconda dei vincoli imposti a m, n e a, ci sono due approcci di base.

È più facile imporre una restrizione su a, prendendo a≥0 per positive m e a> 0 per negative m (poiché per m≤0, il grado 0 m non è definito). Quindi otteniamo la seguente definizione di laurea con un esponente frazionale.

Il grado di un numero positivo a con un indice frazionale m / n, dove m è un intero e n è un numero intero positivo, è chiamato la radice nth di a alla potenza di m, cioè,.

Il grado frazionario di zero è anche determinato con la sola riserva che l'indicatore dovrebbe essere positivo.

Il grado di zero con un indice positivo frazionario m / n, dove m è un numero intero positivo e n è un numero intero positivo, è definito come.
Quando il grado non è determinato, cioè il grado del numero zero con un indicatore negativo frazionale non ha senso.

Dovrebbe essere notato che con una tale definizione di grado con un esponente frazionario, c'è una sfumatura: per alcuni negativi a ed alcuni m ed n, l'espressione ha senso, e abbiamo scartato questi casi inserendo la condizione a≥0. Ad esempio, ha senso scrivere o, e la definizione data sopra ci fa dire che i gradi con un indice frazionario di una specie non hanno senso, poiché la base non dovrebbe essere negativa.

Un altro approccio per determinare un grado con un m / n frazionale consiste nel considerare separatamente gli indici radicali pari e dispari. Questo approccio richiede una condizione aggiuntiva: il grado del numero a, il cui indicatore è una frazione ridotta, è considerato il grado del numero a, il cui indicatore è la frazione irriducibile corrispondente (spiegheremo l'importanza di questa condizione appena sotto). Cioè, se m / n è una frazione irriducibile, allora per ogni numero naturale k, il grado è sostituito da.

Per m pari e positiva, l'espressione ha senso per qualsiasi non negativo a (la radice pari di un numero negativo non ha senso), per m negativo, il numero a deve anche essere diverso da zero (altrimenti dividere per zero). Per i numeri dispari n e positivi, il numero a può essere qualsiasi (la radice di un grado dispari è determinata per qualsiasi numero reale), e per il negativo m, il numero a deve essere diverso da zero (in modo che non vi sia divisione per zero).

Il ragionamento di cui sopra ci porta a una tale definizione di laurea con un esponente frazionario.

Sia m / n una frazione irriducibile, m essere un intero, e n essere un numero intero positivo. Per ogni frazione riducibile, il grado è sostituito da. Il grado di a con esponente frazionario irriducibile m / n è per

• qualsiasi numero reale a, un intero positivo m e un numero intero positivo dispari n, ad esempio;
• per esempio un numero reale diverso da zero a, un intero negativo m, e uno dispari n;
• qualsiasi numero non negativo a, intero positivo me persino n, per esempio;
• qualsiasi positivo a, intero m negativo e persino n, ad esempio;
• in altri casi, il grado con un esponente frazionario non è definito, ad esempio, i gradi non sono definiti.

Spieghiamo perché una laurea con esponente frazionabile cancellabile viene preliminarmente sostituita da un esponente con un esponente irriducibile. Se abbiamo semplicemente definito il grado come, e non abbiamo fatto una riserva sull'irriducibilità della frazione m / n, allora ci troveremmo di fronte a situazioni come la seguente: dal 6/10 = 3/5, quindi l'uguaglianza deve valere, ma, a.

Si noti che la prima definizione di grado con indice frazionario è più facile da usare rispetto alla seconda. Pertanto, lo useremo in futuro.

il grado di un numero positivo a con un indice frazionale m / n definiamo come, per un record negativo non attribuiamo alcun significato, il grado del numero zero è determinato per gli indicatori frazionari positivi m / n poiché per gli indicatori frazionari negativi il grado del numero zero non è determinato.

In conclusione di questo paragrafo, richiamiamo l'attenzione sul fatto che l'esponente frazionario può essere scritto sotto forma di una frazione decimale o di un numero misto, ad esempio. Per calcolare i valori di espressioni di questo tipo, è necessario scrivere l'esponente sotto forma di una frazione ordinaria e quindi utilizzare la definizione di un grado con un esponente frazionario. Per gli esempi indicati abbiamo e.

Laurea con un indicatore irrazionale e valido

È noto che l'insieme dei numeri reali può essere considerato come l'unione di insiemi di numeri razionali e irrazionali. Pertanto, un grado con un indicatore valido può essere considerato definito quando un grado con un indicatore razionale e un grado con un indicatore irrazionale sono determinati. Abbiamo parlato della laurea con un indicatore razionale nel paragrafo precedente, rimane da trattare con la laurea con un indicatore irrazionale.

Il concetto del grado di a con un indice irrazionale sarà avvicinato gradualmente.

Sia una sequenza di approssimazioni decimali di un numero irrazionale. Ad esempio, prendi un numero irrazionale, quindi puoi accettare o, ecc. Vale la pena notare che i numeri sono razionali.

La sequenza di numeri razionali corrisponde a una sequenza di gradi, e possiamo calcolare i valori di questi gradi sulla base del materiale dell'articolo che si eleva a un livello razionale. Ad esempio, prendi a = 3, e poi, e dopo aver aumentato il potere, otteniamo.

Infine, la sequenza converge in un certo numero, che è il valore della potenza di a con un esponente irrazionale. Torniamo al nostro esempio: un grado con un indicatore irrazionale della forma converge in un numero che è uguale a 6.27 con una precisione di un centesimo.

Il grado di un numero positivo a con un indice irrazionale è un'espressione il cui valore è uguale al limite della sequenza, dove sono le approssimazioni decimali consecutive del numero irrazionale.

Il grado del numero zero è determinato per gli indicatori irrazionali positivi, con questo. Ad esempio,. E il grado del numero 0 con un indicatore irrazionale negativo non è determinato, per esempio, non è definito.

Separatamente, è necessario dire sul grado irrazionale dell'unità - l'unità in qualsiasi grado irrazionale è uguale a 1. Ad esempio, e.

Radici e gradi

grado di

Il grado è un'espressione della forma :, dove:

• - la base della laurea;
• - esponente.

Laurea con un indicatore naturale

Definiamo il concetto di laurea il cui indice è un numero naturale (cioè un numero intero e un positivo).

1. Per definizione :.
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo da solo:
3. Costruire un numero in un cubo significa moltiplicarlo da solo tre volte:

Aumentare un numero in modo naturale significa moltiplicare di nuovo il numero:

Laurea con numero intero

Se l'esponente è un numero intero positivo:

, n> 0

Elevazione a zero gradi:

, a ≠ 0

Se l'esponente è un numero intero negativo:

, a ≠ 0

Nota: l'espressione non è definita, nel caso n ≤ 0. Se n> 0, quindi

Laurea con un indicatore razionale

• a> 0;
• n è un numero naturale;
• m è un numero intero;

Proprietà dei gradi

radice

Radice quadrata aritmetica

L'equazione ha due soluzioni: x = 2 e x = -2. Questi sono numeri il cui quadrato è 4.

Considera l'equazione. Disegniamo un grafico della funzione e vediamo che questa equazione ha anche due soluzioni, una positiva e l'altra negativa.

Ma in questo caso, le soluzioni non sono numeri interi. Inoltre, non sono razionali. Per scrivere queste decisioni irrazionali, introduciamo un carattere speciale di radice quadrata.

La radice quadrata aritmetica è un numero non negativo, il cui quadrato è, a ≥ 0. Quando a

Il grado e le sue proprietà. Determinazione del grado

Sezioni: matematica

Per familiarizzare gli studenti con le proprietà dei gradi con indicatori naturali e insegnare come eseguire azioni con gradi.

L'argomento "Il grado e le sue proprietà" comprende tre domande:

• Determinazione del grado con un indicatore naturale.
• Moltiplicazione e divisione dei poteri.
• Alzare il grado del prodotto e il grado.

Formulare una definizione di grado con un indice naturale maggiore di 1. Fai un esempio.

Formulare la definizione di un grado con l'indicatore 1. Fai un esempio.

Qual è l'ordine delle azioni quando si calcola il valore di un'espressione che contiene una laurea?

Formulare la proprietà di base di un grado. Fai un esempio.

Formulare la regola della moltiplicazione dei gradi con le stesse basi. Fai un esempio.

Formulare la regola dei gradi di divisione con le stesse basi. Fai un esempio.

Formulare una regola per il grado di lavoro. Fai un esempio. Dimostra l'identità (ab) n = a n • b n.

Formulare una regola di elevazione del grado. Fai un esempio. Dimostra l'identità (a m) n = a m n.

Il grado di a con un indice naturale n maggiore di 1 è il prodotto di n fattori, ognuno dei quali è a. Il grado di a con indice 1 è il numero a se stesso.

Il grado con base a e indice n è scritto come segue: a n. Leggi "a alla potenza di n"; "N-esima potenza di a".

Per definizione, una laurea:

La ricerca di un valore di grado è chiamata esponenziazione.

1. Esempi di esponenziazione:

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Immagina sotto forma di un numero quadrato: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Presenti sotto forma di un cubo i numeri:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Trova i valori delle espressioni:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Scrivi il lavoro come una laurea:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Presente sotto forma di numero quadrato:

3. Presenti sotto forma di un cubo i numeri:

4. Trova i valori delle espressioni:

Per qualsiasi numero a e numeri arbitrari m e n:

a m a n = a m + n.

Regola: moltiplicando i gradi con le stesse basi, le basi rimangono invariate e gli esponenti vengono sommati.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

1. Presente come laurea:

a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5

2. Presente come laurea e trova il valore nella tabella:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187

1. Presente come laurea:

a) x 3 • x 4 e) x 2 • x 3 • x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 • 2 4 k) 0,3 3 • 0,09

2. Presente come laurea e trova il valore nella tabella:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Per ogni numero a 0 e interi positivi arbitrari m e n, tale che m> n è vero:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

per definizione privato:

a m: a n = a m - n.

Regola: quando si dividono gradi con le stesse basi, la base viene lasciata la stessa e il grado di divisore viene sottratto dall'esponente.

Definizione: il grado di a non uguale a zero, con un esponente pari a zero uguale a uno:

Numeri. Il grado del numero.

È noto che la somma di più componenti uguali può essere trovata usando la moltiplicazione. Ad esempio: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Si dice che tale espressione sia la somma di componenti uguali trasformati in un prodotto. E viceversa, se leggiamo questa uguaglianza da destra a sinistra, otteniamo che abbiamo esteso la somma di termini uguali. Allo stesso modo, è possibile comprimere il prodotto di diversi fattori uguali 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Cioè, invece di moltiplicare sei identici fattori di 5x5x5x5x5x5, scrivono 5 6 e dicono "cinque al sesto grado".

L'espressione 5 6 è la potenza del numero, dove:

5 - la base della laurea;

6 - esponente.

Le azioni mediante le quali il prodotto di fattori uguali è ridotto a un potere sono chiamate esponenziazione.

In generale, il grado con la base "a" e l'indice "n" è scritto come

Aumentare il numero a alla potenza di n significa trovare il prodotto di n fattori, ognuno dei quali è a

Se la base del grado "a" è 1, allora il valore del grado per ogni n naturale è 1. Ad esempio, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Se alziamo il numero "a" al primo grado, otteniamo il numero a stesso: a 1 = a

Se eleviamo qualsiasi numero al grado zero, allora come risultato dei calcoli ne otteniamo uno. a 0 = 1

Speciale considerare i numeri di secondo e terzo grado. Per loro è venuto fuori con il nome: il secondo grado è chiamato il quadrato del numero, il terzo - il cubo di questo numero.

Qualsiasi numero può essere elevato a una potenza: positiva, negativa o pari a zero. Non usa le seguenti regole:

-trovando il grado di un numero positivo, si ottiene un numero positivo.

-quando calcoliamo lo zero nel grado naturale, otteniamo zero.

- quando si calcola il grado di un numero negativo, il risultato può essere sia un numero positivo che un numero negativo. Dipende se l'esponente è dispari o dispari.

Se risolviamo alcuni esempi sul calcolo del grado di numeri negativi, allora si scopre che se calcoliamo un grado dispari di un numero negativo, allora il risultato sarà un numero con un segno meno. Dal momento che, moltiplicando il numero dispari di fattori negativi, otteniamo un valore negativo.

Se calcoliamo un grado pari per un numero negativo, il risultato sarà un numero positivo. Dal momento che, moltiplicando un numero pari di fattori negativi, otteniamo un valore positivo.

Grado delle proprietà con un indicatore naturale.

Per moltiplicare i gradi con le stesse basi, non cambiamo le basi e aggiungiamo gli esponenti dei gradi:

ad esempio: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Per separare i gradi con le stesse basi, non cambiamo la base, ma sottraiamo gli esponenti:

ad esempio: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Quando calcoliamo il grado di elevazione, non cambiamo la base e moltiplichiamo gli esponenti dei gradi.

ad esempio: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Se è necessario calcolare la costruzione in base al grado del prodotto, ciascun fattore viene aumentato in questo modo.

per esempio: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Quando eseguiamo calcoli sulla costruzione di una frazione, eleviamo il numeratore e il denominatore della frazione a questa potenza.

ad esempio: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

La sequenza di calcoli quando si lavora con espressioni contenenti un grado.

Quando si eseguono calcoli, le espressioni senza parentesi, ma contenenti gradi, eseguono prima di tutto l'esponenziazione, quindi moltiplicano e dividono le azioni, e solo successivamente aggiungono e sottraggono le operazioni.

Se è necessario calcolare un'espressione contenente parentesi, quindi prima nell'ordine specificato sopra, eseguiamo i calcoli tra parentesi e quindi le restanti azioni nello stesso ordine da sinistra a destra.

Molto ampiamente nei calcoli pratici per la semplificazione dei calcoli utilizzare tabelle di gradi pronte.

Spiega come trovare la potenza di un numero

Risparmia tempo e non vedi annunci con Knowledge Plus

Risparmia tempo e non vedi annunci con Knowledge Plus

La risposta

La risposta è data

19kot

Connetti Knowledge Plus per accedere a tutte le risposte. Rapidamente, senza pubblicità e pause!

Non perdere l'importante - connetti Knowledge Plus per vedere la risposta adesso.

Guarda il video per accedere alla risposta

Oh no!
Le visualizzazioni di risposta sono finite

Connetti Knowledge Plus per accedere a tutte le risposte. Rapidamente, senza pubblicità e pause!

Non perdere l'importante - connetti Knowledge Plus per vedere la risposta adesso.

Guarda il video per accedere alla risposta

Oh no!
Le visualizzazioni di risposta sono finite

• Commenti
• Contrassegna la violazione

La risposta

La risposta è data

Nadirka212

La cosa più ragionevole è scomporre un numero in fattori primi, quindi puoi trovare sia la base che l'esponente.
Se la base è nota, l'indicatore può essere trovato mediante logaritmizzazione, ad esempio,
2 ^ x = 8
Per trovare x, devi contare entrambe le parti della base 2
x = login in base 2 da 8 = ln 8 / ln 2 (questo può essere calcolato sulla calcolatrice) = 3
Se l'indicatore è noto, la base viene trovata estraendo la radice, ad esempio,
x ^ 3 = 8
estrai la radice cubica da entrambe le parti
x = radice cubica di 8 = 2

Se nessuno dei due conosce l'uno o l'altro, decompone un numero in fattori primi, questo viene fatto dividendo successivamente il numero in fattori primi
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 non è divisibile per 2, per 3, per 5 (iterare successivamente su numeri primi)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Totale abbiamo diviso per 2 otto volte e 7 quattro volte, quindi
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Se vogliamo trovare una rappresentazione nella forma a ^ b con naturale a e b e b devono essere massimali, allora come b dobbiamo prendere il GCD dei gradi ottenuti nella scomposizione in fattori primi, cioè in questo caso b = GCD (8.4) = 4
la base del grado a sarà 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28

Il grado e le sue proprietà. Il livello iniziale

Il grado è un'espressione della forma :, dove:

Laurea con numero intero

il cui grado è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Laurea con un indicatore razionale

il cui grado è negativo e numeri frazionari.

Laurea con un esponente irrazionale

grado il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Un numero negativo elevato a una potenza pari è un numero positivo.
• Un numero negativo elevato a una potenza dispari è un numero negativo.
• Un numero positivo di qualsiasi grado è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi grado.
• Qualsiasi numero è zero gradi.

Qual è il potere del numero?

L'esponenziazione è la stessa operazione matematica di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione.

Ora spiegherò tutto in linguaggio umano con esempi molto semplici. Sii attento Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Iniziamo con l'aggiunta.

Non c'è nulla da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanto costa la cola? Proprio così - 16 bottiglie.

Ora moltiplicare.

Lo stesso esempio con Coca-Cola può essere scritto in modo diverso: I matematici sono astuti e pigri. Per prima cosa notano alcuni modelli e poi escogitano un modo per "contarli" rapidamente. Nel nostro caso, hanno notato che ognuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di coca cola e ha inventato un dispositivo chiamato moltiplicazione. Ammettere che è considerato più facile e più veloce di.

Ecco la tabella di moltiplicazione. Ripeti.
Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, è sufficiente ricordare la tabella di moltiplicazione. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più difficile e con errori! Ma...

Ecco la tabella di moltiplicazione. Ripeti.

E un altro, più bello:

Quali altri astuti trucchi del conto hanno escogitato matematici pigri? Correttamente - l'introduzione del numero nella laurea.

Alzare un numero a un potere.

Se è necessario moltiplicare il numero di per sé cinque volte, i matematici dicono che è necessario costruire questo numero al quinto grado. Ad esempio,. I matematici ricordano che due al quinto grado è questo. E risolvi questi enigmi in mente: più veloce, più facile e senza errori.

Per fare questo, basta ricordare ciò che è evidenziato a colori nella tabella dei gradi di numeri. Credimi, questo renderà la tua vita molto più facile.

A proposito, perché il secondo grado è chiamato il quadrato di un numero e il terzo - il cubo? Cosa significa? Ottima domanda Ora avrai quadrati e cubi.

Un esempio della vita di №1.

Iniziamo con un numero quadrato o di secondo grado.

Immagina una piscina quadrata di metri per metro. La piscina è nella tua dacia. Calore e voglia di nuotare. Ma... una piscina senza fondo! È necessario posare il fondo delle tessere della piscina. Di quante piastrelle hai bisogno? Per determinare questo, è necessario conoscere l'area del fondo della piscina.

Puoi semplicemente contare, colpendo un dito, che il fondo della piscina è costituito da cubi di metro per metro. Se hai una tessera metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto una tessera del genere? La tessera avrà più probabilità di vedere il centimetro e poi sarà tormentata dal "dito". Quindi devi moltiplicare. Quindi, su un lato del fondo della piscina, ci adatteremo piastrelle (pezzi) e, dall'altro, anche piastrelle. Moltiplicando per si ottengono le tessere ().

Hai notato che per determinare l'area del fondo della piscina, abbiamo moltiplicato lo stesso numero da solo? Cosa significa? Una volta moltiplicato lo stesso numero, possiamo usare la tecnica "esponenziazione". (Naturalmente, quando hai solo due numeri, puoi comunque moltiplicarli o aumentarli a un potere, ma se ne hai molti, aumentarli ad un potere è molto più semplice e anche gli errori di calcolo sono minori.Per l'esame di stato unificato questo è molto importante)
Quindi, trenta al secondo grado sarà (). Oppure puoi dire che trenta quadrati saranno. In altre parole, il secondo grado di un numero può sempre essere rappresentato come un quadrato. Viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di un certo numero. Un quadrato è un'immagine di secondo grado di un numero.

Un esempio della vita di №2.

Ecco un compito per te, calcola quanti quadrati su una scacchiera con l'aiuto di un quadrato di un numero. Da un lato delle celle e dall'altro anche. Per calcolare il loro numero, hai bisogno di otto volte otto o... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi costruire otto quadrati. Prendi una cella. () Quindi?

Un esempio della vita del numero 3.

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. Stesso biliardo Ma ora devi sapere quanta acqua devi versare in questa piscina. Devi calcolare il volume. (Volumi e liquidi, a proposito, sono misurati in metri cubi. Inaspettatamente, giusto?) Disegna una piscina: il fondo misura un metro di profondità e un metro di profondità e prova a calcolare quanti cubi in metri al metro andranno nella tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro... ventidue, ventitré... Quanto è successo? Non fuori È difficile contare con un dito? Questo è tutto! Prendi l'esempio dei matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicare l'un l'altro la sua lunghezza, larghezza e altezza. Nel nostro caso, il volume della piscina sarà uguale a cubi... È più facile, giusto?

E ora immagina come i matematici siano pigri e astuti, se lo hanno anche semplificato. Portato tutto a una singola azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica da solo... E cosa significa? Questo significa che puoi usare la laurea. Quindi, quello che una volta hai contato come un dito, lo fanno in un'unica azione: tre in un cubo sono uguali. È scritto in questo modo:

Resta solo da ricordare il tavolo dei gradi. Se voi, naturalmente, siete pigri e astuti come matematici. Se ti piace lavorare sodo e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i gradi sono stati inventati da ciarlatani e imbroglioni per risolvere i loro problemi di vita, e non per creare problemi per te, ecco un paio di altri esempi dalla vita.

Un esempio della vita di №4.

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno guadagni milioni ogni altro milione. Cioè, ogni tuo milione all'inizio di ogni anno è raddoppiato. Quanti soldi avrai negli anni? Se sei seduto e "contando un dito", allora sei una persona molto laboriosa e... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Così, nel primo anno - due volte due... nel secondo anno - cosa è successo, da altri due, nel terzo anno... Stop! Hai notato che il numero si moltiplica da solo una volta. Quindi, due al quinto grado: un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi riceverà il milione sarà più veloce da calcolare... Vale la pena ricordare i gradi dei numeri, come pensi?

Un esempio tratto dalla vita numero 5.

Hai un milione. All'inizio di ogni anno guadagni ogni milione due in più. Wow, davvero? Ogni milione di triple. Quanti soldi avrai in un anno? Contiamo Il primo anno è moltiplicare, quindi il risultato è ancora... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre volte si moltiplica da solo. Quindi nel quarto grado è uguale a un milione. Devi solo ricordare che tre al quarto grado è o.

Ora sai che con l'aiuto di elevare un numero ad un potere, faciliteresti enormemente la tua vita. Esaminiamo ulteriormente cosa puoi fare con i gradi e ciò che devi sapere su di loro.

Termini e concetti.

Quindi iniziamo definendo concetti. Quale pensi sia l'esponente? È molto semplice - questo è il numero che è "nella parte superiore" della potenza del numero. Non scientifico, ma comprensibile e facile da ricordare...

Quindi, allo stesso tempo, qual è la base della laurea? Ancora più semplice è il numero in basso, in basso.

Ecco un'immagine per la tua fedeltà.

Bene, in generale, per riassumere e meglio ricordare... Il grado con la base " e l'indicatore " è letto come "al grado" ed è scritto come segue:

Inoltre, perché dire "il grado di numeri con un indicatore naturale"?

"Il grado di numeri con un indicatore naturale"

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma cos'è un numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quelli che vengono utilizzati nell'account quando si elencano gli oggetti: uno, due, tre... Quando contiamo gli elementi, non diciamo: "meno cinque", "meno sei", "meno sette". Inoltre, non diciamo: "un terzo" o "zero point, cinque decimi". Questi non sono numeri naturali. E quali sono questi numeri come pensi?

Numeri come "meno cinque", "meno sei", "meno sette" si riferiscono a numeri interi. Generalmente, i numeri interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè, presi con un segno meno), e un numero. Zero è facile da capire - questo è quando non c'è niente. E cosa significano numeri negativi ("negativi")? Ma sono stati inventati prima di tutto per designare i debiti: se hai un saldo al telefono in rubli, questo significa che devi i rubli dell'operatore.

Le frazioni di qualsiasi tipo sono numeri razionali. Come sono arrivati, cosa ne pensi? Molto semplice Migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono che mancano numeri naturali per misurare lunghezza, peso, area, ecc. E hanno inventato numeri razionali... Interessante, vero?

Ci sono ancora numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? In breve, decimale infinito. Ad esempio, se la circonferenza è divisa per il suo diametro, si ottiene un numero irrazionale.

Riassumendo:

• I numeri naturali sono i numeri utilizzati durante il conteggio, cioè, ecc.
• Intero: tutti i numeri naturali, i numeri naturali con un segno meno e il numero 0.
• I numeri frazionari sono considerati razionali.
• I numeri irrazionali sono decimali infiniti

Laurea con un indicatore naturale

Definiamo la nozione di laurea il cui indice è un numero naturale (cioè, un intero e un positivo).

1. Qualsiasi numero nel primo grado è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo da solo:
3. Costruire un numero in un cubo significa moltiplicarlo da solo tre volte:

Definizione. Aumentare un numero in modo naturale significa moltiplicare di nuovo il numero:
.

Grado di numero: definizioni, designazione, esempi

Nell'ambito di questo materiale, analizziamo quale sia il grado del numero. Oltre alle definizioni di base, formuliamo quello che è un grado con indicatori naturali, interi, razionali e irrazionali. Come sempre, tutti i concetti verranno illustrati con esempi di attività.

Gradi con esponenti naturali: il concetto di un quadrato e un cubo di un numero

In primo luogo, formuliamo una definizione di base di un grado con un indice naturale. Per questo dobbiamo ricordare le regole base della moltiplicazione. Cerchiamo di chiarire in anticipo che come base per il momento prenderemo un numero reale (indicato dalla lettera a) e, come indicatore, un numero naturale (indicato dalla lettera n).

Il grado di a con un indice naturale n è il prodotto del n ° numero di fattori, ognuno dei quali è uguale al numero a. Il grado è scritto così: a n, e sotto forma di formula, la sua composizione può essere rappresentata come segue:

Ad esempio, se l'esponente è 1 e la base è a, allora la prima potenza di a è scritta come 1. Considerando che a è il valore di un moltiplicatore e 1 è il numero di moltiplicatori, possiamo concludere che a 1 = a.

In generale, si può affermare che il grado è una forma conveniente di registrazione di un gran numero di fattori uguali. Pertanto, il tipo di registrazione 8 · 8 · 8 · 8 può essere ridotto a 8 4. Approssimativamente lo stesso lavoro ci aiuta ad evitare di scrivere un gran numero di termini (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); l'abbiamo già analizzato nell'articolo dedicato alla moltiplicazione dei numeri naturali.

Come leggere il record della laurea? L'opzione generalmente accettata è "alla potenza di n". Oppure puoi dire "n-esimo grado a" o "un n-esimo grado". Se, per esempio, nell'esempio abbiamo incontrato il record 8 12, possiamo leggere "8 al 12 ° grado", "8 al grado 12" o "12 ° al 8 °".

I numeri di secondo e terzo grado hanno i loro nomi consolidati: quadrato e cubo. Se vediamo un secondo grado, ad esempio, il numero 7 (7 2), allora possiamo dire "7 al quadrato" o "quadrato del numero 7". Allo stesso modo, il terzo grado si legge così: 5 3 è il "cubo del numero 5" o "5 nel cubo". Tuttavia, è anche possibile utilizzare la dicitura standard "nel secondo / terzo grado", non sarà un errore.

Esaminiamo un esempio di laurea con un indicatore naturale: per 5 7, i cinque saranno la base e i sette - l'indicatore.

La base non deve essere un numero intero: per il grado (4, 32) 9, la base sarà una frazione di 4, 32 e l'indicatore sarà nove. Prestare attenzione alle parentesi: tale voce è fatta per tutti i gradi le cui basi sono diverse dai numeri naturali.

Ad esempio: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

A cosa servono le parentesi? Aiutano ad evitare errori nei calcoli. Diciamo che abbiamo due voci: (- 2) 3 e - 2 3. Il primo di questi indica un numero negativo meno due, elevato a una potenza con un indice naturale di tre; il secondo è il numero corrispondente al valore opposto di grado 2 3.

A volte nei libri ci si imbatte in una grafia leggermente diversa della potenza di un numero - a ^ n (dove a è la base e n è l'indicatore). Cioè, 4 ^ 9 è lo stesso di 4 9. Se n è un numero multivalore, viene preso tra parentesi. Ad esempio, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ma useremo la notazione a n come più comune.

Come calcolare il valore di un grado con un indice naturale è facile da indovinare dalla sua definizione: devi solo moltiplicare un numero n di volte. Di più su questo, abbiamo scritto in un altro articolo.

Il concetto di laurea è l'opposto di un altro concetto matematico: la radice di un numero. Se conosciamo il valore del grado e dell'esponente, possiamo calcolare la sua base. Il grado ha alcune proprietà specifiche che sono utili per risolvere problemi che abbiamo smontato in un materiale separato.

Che cosa è un grado con un intero indicatore

In termini di gradi, non ci possono essere solo numeri naturali, ma in generale tutti i valori interi, compresi quelli negativi e gli zeri, perché appartengono anche all'insieme di numeri interi.

Il grado di un numero con un numero intero positivo può essere visualizzato come una formula :.

Inoltre, n è un numero intero positivo.

Capiremo il concetto di grado zero. Per fare ciò, usiamo un approccio che tenga conto della proprietà del particolare per le potenze con basi uguali. È formulato come segue:

L'uguaglianza a m: a n = a m - n è vera sotto le condizioni: m e n sono numeri naturali, m n, a ≠ 0.

Quest'ultima condizione è importante perché evita la divisione per zero. Se i valori di m e n sono uguali, allora otteniamo il seguente risultato: a n: a n = a n - n = a 0

Ma allo stesso tempo, un n: a n = 1 è il quoziente di numeri uguali a n e a. Si scopre che la potenza zero di qualsiasi numero diverso da zero è uno.

Tuttavia, questa dimostrazione non si applica a zero a zero gradi. Per questo abbiamo bisogno di un'altra proprietà di gradi - una proprietà di prodotti di gradi con basi uguali. Assomiglia a questo: a m · a n = a m + n.

Se n è 0, allora a m · a 0 = a m (questa uguaglianza ci dimostra anche che a 0 = 1). Ma se e anche zero, la nostra uguaglianza assume la forma 0 m · 0 0 = 0 m, sarà vera per qualsiasi valore naturale di n, e non importa quale sia il valore del grado è 0 0, cioè può essere uguale a qualsiasi numero e non influenzerà la lealtà dell'uguaglianza. Pertanto, un record del formato 0 0 non ha il suo significato speciale e non lo attribuiremo ad esso.

Se lo si desidera, è facile verificare che a 0 = 1 converge con la proprietà di grado (a m) n = a m · n, a condizione che la base del grado sia diversa da zero. Pertanto, il grado di qualsiasi numero diverso da zero con zero esponente è uno.

Esaminiamo un esempio con numeri concreti: Quindi, 5 0 è un'unità, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1, e il valore 0 0 non è definito.

Dopo il grado zero rimane per noi capire quale sia il grado negativo. Per questo abbiamo bisogno della stessa proprietà del prodotto di gradi con basi uguali, che abbiamo già usato sopra: a m · a n = a m + n.

Introduciamo la condizione: m = - n, quindi a non dovrebbe essere zero. Da ciò segue che a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Si scopre che un n e un n sono numeri mutuamente inversi.

Di conseguenza, un intero livello negativo non è altro che la frazione 1 a n.

Tale formulazione conferma che per un grado con un intero indice negativo sono valide tutte le stesse proprietà di un grado con un indice naturale (a condizione che la base non sia zero).

Il grado di a con un numero intero negativo n può essere rappresentato come una frazione 1 a n. Quindi, a - n = 1 a n sotto la condizione a ≠ 0 en è qualsiasi intero positivo.

Illustriamo il nostro pensiero con esempi concreti:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Nell'ultima parte del paragrafo, cercheremo di descrivere tutto ciò che è stato detto chiaramente in una formula:

Il grado di a con un indice naturale z è: az = az, e con l e z è l'intero di un l e z è 0 e z = 0 e a ≠ 0, (p p pe z = 0 e a = 0 p o l o c e s i 0 0, che significa a v o r a c io 0 0 n e O p e nd i s i) 1 az, e s c e z è un cel o e r a c t a t a l a n o e h i a l o a ≠ 0 ( e sl e z - è il numero intero della serie e a = 0 all'infinito con i 0 z, ego circa N ota o p o d ia e c i i)

Cos'è un esponente razionale?

Abbiamo trattato casi in cui un numero intero è nell'esponente. Tuttavia, è possibile elevare un numero a una potenza anche quando un numero frazionario è nel suo indice. Questo è chiamato un esponente razionale. A questo punto, dimostriamo che ha le stesse proprietà degli altri gradi.

Quali sono i numeri razionali? Il loro set include numeri interi e frazionari, mentre i numeri frazionari possono essere rappresentati come frazioni ordinarie (sia positive che negative). Formuliamo la definizione del grado di a con un esponente frazionario m / n, dove n è un numero intero positivo e m è un numero intero.

Abbiamo una certa laurea con un esponente frazionario a m n. Affinché la proprietà di grado in grado sia mantenuta, l'uguaglianza a m n n = a m n · n = a m deve essere vera.

Tenendo conto della definizione della radice di grado n-esimo e che a mn n = a m, possiamo accettare la condizione a m n = a m n se a m n ha senso ai valori dati di m, n e a.

Le proprietà di cui sopra del grado con un intero saranno vere sotto la condizione a m n = a m n.

La conclusione principale dal nostro ragionamento è la seguente: il grado di un certo numero a con un indice frazionale m / n è la radice dell'n ° grado da a a m. Questo è vero se, per determinati valori di m, n e a, l'espressione a m n conserva il suo significato.

Successivamente, è necessario determinare quale tipo di restrizioni sui valori delle variabili impone tale condizione. Ci sono due approcci per risolvere questo problema.

1. Possiamo limitare il valore della base del grado: prendiamo a, che per valori positivi di m sarà maggiore o uguale a 0, e per valori negativi, rigorosamente meno (poiché per m ≤ 0 otteniamo 0 m, e questo grado non è definito). In questo caso, la determinazione del grado con un indice frazionario sarà la seguente:

Un grado con un indice frazionale m / n per un numero positivo a è la radice dell'ennesimo grado di un elevato alla potenza m. Sotto forma di formula, questo può essere rappresentato come:

Per una laurea con base zero, questa posizione è anche adatta, ma solo se il suo indice è un numero positivo.

Un grado con base zero e un m / n positivo frazionario può essere espresso come

0 m n = 0 m n = 0 sotto la condizione di un intero positivo me un naturale n.

Con un rapporto negativo m n 0, il grado non è determinato, vale a dire un tale record non ha senso.

Nota un punto. Poiché abbiamo introdotto la condizione che a è maggiore o uguale a zero, abbiamo abbandonato alcuni casi.

L'espressione a volte ha ancora senso per alcuni valori negativi di ae alcuni m. Quindi, le voci (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 sono corrette, in cui la base è negativa.

2. Il secondo approccio consiste nel considerare separatamente la radice a m n con indici pari e dispari. Allora avremo bisogno di introdurre un'altra condizione: il grado a, nell'indice di cui vale la frazione ridotta, è considerato il grado di a, nell'indice di cui è la corrispondente frazione irriducibile corrispondente ad esso. Più tardi spiegheremo perché questa condizione è per noi e perché è così importante. Quindi, se abbiamo il record a m · k n · k, allora possiamo ridurlo a un m n e semplificare i calcoli.

Se n è un numero dispari e m è positivo, a è un numero non negativo, quindi un m n ha senso. La condizione di non negativo a è necessaria, poiché la radice di un potere pari non viene estratta da un numero negativo. Se il valore di m è positivo, allora a può essere sia negativo che zero, poiché la radice di grado dispari può essere estratta da qualsiasi numero reale.

Combina tutti i dati sopra le definizioni in un record:

Qui m / n significa una frazione irriducibile, m è un numero intero e n è un numero intero positivo.

Per ogni frazione ridotta ordinaria m · k n · k, il grado può essere sostituito da un m n.

Il grado del numero a con un indice frazionario irriducibile m / n può essere espresso come m n nei seguenti casi: - per ogni reale a, valori interi positivi di m e valori naturali dispari di n. Esempio: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- per qualsiasi valore reale diverso da zero a, intero valori negativi di me valori dispari di n, ad esempio 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- per qualsiasi non negativo a, valori positivi interi di me anche n, per esempio, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- per ogni positivo a, intero m negativo e pari n, ad esempio 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Nel caso di altri valori, il grado con un esponente frazionario non è definito. Esempi di tali gradi: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ora spieghiamo l'importanza della condizione sopra menzionata: perché sostituire una frazione con un indice ridotto di una frazione con una frazione irriducibile. Se non lo faremmo, avremmo tali situazioni, ad esempio, 6/10 = 3/5. Quindi dovrebbe essere vero (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ma - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, e (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Determinazione del grado con un indice frazionario, che abbiamo citato per primo, è più conveniente da mettere in pratica rispetto al secondo, quindi lo useremo ulteriormente.

Quindi, il grado di un numero positivo a con un indice frazionale m / n è definito come 0 m n = 0 m n = 0. Nel caso del negativo a, l'ingresso a m n non ha senso. Il grado di zero per gli indicatori frazionari positivi m / n è definito come 0 m n = 0 m n = 0, per gli indicatori frazionari negativi non definiamo il grado di zero.

Nelle conclusioni, notiamo che possiamo scrivere qualsiasi indice frazionario sia sotto forma di un numero misto sia sotto forma di una frazione decimale: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Quando si calcola, è meglio sostituire l'esponente con una frazione ordinaria e quindi utilizzare la definizione di una frazione frazionaria. Per gli esempi sopra, otteniamo:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Che cosa è un grado con un indicatore irrazionale e valido

Quali sono i numeri reali? Il loro set include sia numeri razionali che irrazionali. Pertanto, per capire che cos'è un grado con un indicatore valido, dobbiamo definire i gradi con indicatori razionali e irrazionali. A proposito di razionale, abbiamo già menzionato sopra. Affronteremo gli indicatori irrazionali passo dopo passo.

Supponiamo di avere un numero irrazionale a e una sequenza delle sue approssimazioni decimali a 0, a 1, a 2,.... Ad esempio, prendi il valore a = 1, 67175331... poi

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

e così via (con le approssimazioni stesse che sono numeri razionali).

Sequenze di approssimazioni possiamo associare una sequenza di gradi a a 0, a a 1, a a 2,.... Se ricordiamo che in precedenza abbiamo detto di elevare i numeri a un livello razionale, allora possiamo calcolare noi stessi i valori di questi gradi.

Prendiamo ad esempio a = 3, quindi a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753,... e così via

La sequenza dei gradi può essere ridotta a un numero, che sarà il valore del grado c con base a e l'indice irrazionale a. In sintesi: una laurea con indice irrazionale del modulo 3 1, 67175331.. può essere ridotto al numero di 6, 27.

Il grado di un numero positivo a con un esponente irrazionale a è scritto come a. Il suo valore è il limite della sequenza a a 0, a a 1, a a 2,... dove a 0, a 1, a 2,... sono approssimazioni decimali consecutive del numero irrazionale a. Un grado zero-base può anche essere definito per gli indicatori irrazionali positivi, con 0 a = 0 Quindi, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. E per quelli negativi, questo non può essere fatto, poiché, ad esempio, il valore 0 - 5, 0 - 2 π non è definito. Un'unità elevata a qualsiasi livello irrazionale rimane un'unità, ad esempio, e 1 2, 1 5 a 2 e 1-5 sarà uguale a 1.